Éléments

La règle la plus étrange

Voici sans doute la règle la plus étrange des mathématiques du lycée. i au carré égale moins un. Un nombre dont le carré est négatif. On l’apprend, on l’applique, et l’on s’en méfie un peu. Et si ce n’était qu’un quart de tour ? Cours articulé de mathématiques. Volume un : du nombre à la forme.

Pour qui, et jusqu’où

Le premier volume fait une promesse simple. Calculer juste. Dessiner une figure. Comprendre pourquoi une démonstration tient. Il s’adresse, dit l’avant-propos, à qui entre dans les mathématiques formelles, peut-être avec curiosité, peut-être avec appréhension. À qui veut reprendre les bases, ou préparer les études supérieures. Il ne suppose rien au-delà de l’arithmétique élémentaire. Il couvre tout le programme du lycée, et y ajoute quelques aperçus du supérieur, là où ils éclairent une idée. Il mène jusqu’au seuil de l’université : c’est là que commence le volume deux.

La carte du volume

Voici la carte. Sept parties. Vingt-deux chapitres. Cent soixante articles, près de sept cents pages. D’abord le langage : le calcul, les inéquations, la démonstration, l’arithmétique, le second degré. Puis la géométrie du plan, et celle de l’espace. Les nombres complexes. La plus longue partie : fonctions, suites, limites, dérivées, intégrales. Les probabilités et la statistique. Et, pour finir, les coniques.

Quatre idées

Quatre idées tiennent l’ensemble. La première : le calcul devient une langue. Deux plus trois fois quatre n’est pas une suite de gestes arbitraires, mais une hiérarchie. Et une langue sert à dire des choses vraies, puis à les prouver. Un exemple, en trente secondes. Racine de deux n’est pas une fraction. Supposons le contraire : racine de deux égale p sur q, fraction irréductible. Alors p au carré égale deux q au carré. p au carré est pair, donc p est pair. En remplaçant, q au carré est pair, donc q aussi. Deux nombres pairs : la fraction n’était pas irréductible. Contradiction. La deuxième idée : un même objet se voit deux fois, en calcul et en figure. Le théorème de Pythagore relie la forme au nombre. Les coordonnées, puis les vecteurs, traduisent chaque figure en calcul, et chaque calcul en figure. La troisième : mesurer le changement. La limite, la dérivée et l’intégrale disent comment une grandeur varie, et ce qu’elle accumule. La quatrième : mesurer le hasard, en comptant d’abord, puis en calculant. Et sous les quatre court un fil : la chaîne des nombres. Les entiers naturels, les relatifs, les fractions, les réels. Chaque fois qu’une équation refusait de se résoudre, on a élargi. La dernière à résister tient en une ligne : x au carré plus un égale zéro.

Multiplier par i, c’est tourner

Aucun réel ne convient : un carré n’est jamais négatif. Alors on décrète un nombre, noté i, dont le carré vaut moins un. Le geste peut sembler gratuit. Le livre le reconnaît volontiers. Mais écrivons chaque nombre complexe sous la forme a plus b i, et plaçons-le dans le plan : a sur l’axe horizontal, b sur l’axe vertical. Trois plus deux i devient un point. Multiplions-le par i. On développe, et l’on remplace i au carré par moins un : trois plus deux i devient moins deux plus trois i. Regardez le point. Il a tourné d’un quart de tour autour de l’origine. C’est vrai pour tout point : a plus b i devient moins b plus a i. Partons de un. Un quart de tour : i. Un deuxième : moins un. Voilà i au carré égale moins un : deux quarts de tour, un demi-tour. Encore deux, et l’on revient au départ. La règle étrange n’était pas une bizarrerie de calcul. C’était de la géométrie, écrite en algèbre. Au chapitre treize, multiplier par e puissance i thêta fait tourner le plan de n’importe quel angle. Un même objet, vu deux fois : tout le volume tient dans ce geste.

Travailler le volume

Comment travailler ce volume ? Lentement, crayon en main, conseille l’avant-propos. Avec trois sortes d’exercices, tous corrigés, et les solutions imprimées à l’envers. Une gamme, juste après l’article : calculez i puissance un, deux, trois, quatre, cinq. Quel motif observez-vous ? Un cycle de longueur quatre. Quatre quarts de tour, et l’on recommence. Une étude, en fin de chapitre, enseigne une méthode : écrire une rotation dont le centre n’est pas l’origine. Translater, tourner, retranslater. Autour de un plus i, trois plus i est envoyé sur un plus trois i, à la même distance du centre. Et une expédition mène plus loin qu’on ne l’aurait cru : les racines de l’unité dessinent sur le cercle un triangle équilatéral, un pentagone, un hexagone réguliers, et leur somme vaut zéro. À côté du volume, trois compagnons. L’abrégé, pour apprendre ou rapprendre. Le précis, pour relire. Le formulaire, pour vérifier. Au rythme d’un article par jour, le volume se parcourt en cinq mois environ.

Ce qui fait la différence

Ce qui fait la différence tient en quelques règles. Un article, une idée, de sa motivation à son interprétation. La figure avant le théorème. Chaque preuve a un statut visible : complète, esquissée ou admise. Dix objets reviennent de volume en volume ; racine de deux, qu’on vient de croiser, accompagne toute la collection. Et le volume existe en français comme en anglais. « Ce livre n’est pas un examen, conclut l’avant-propos : c’est un compagnon de route.

À retenir

» À retenir. Volume un : du lycée au seuil de l’université. Sept parties, cent soixante articles, des exercices tous corrigés. Et i : un quart de tour. Le volume un s’ouvre gratuitement : l’ouverture, la table des matières et le chapitre un en entier, exercices compris. Le lien est dans la description.