Les expéditions

Peut-on multiplier de tête 97 par 103 ?

Peut-on multiplier de tête quatre-vingt-dix-sept par cent trois ? Neuf mille neuf cent quatre-vingt-onze. Sans poser l’opération, sans calculatrice. Il suffit de voir que quatre-vingt-dix-sept et cent trois sont symétriques autour de cent. Cet exercice ouvre la première expédition du chapitre un. Une expédition, c’est ce que le cours propose quand il veut aller plus loin que l’article. Cours articulé de mathématiques. Mode d’emploi, épisode cinq : les expéditions.

Qu’est-ce qu’une expédition ?

Une expédition mène le lecteur, par étapes, vers un résultat qu’il n’aurait pas cru à sa portée. Elle commence par nommer ses prérequis : les études-méthodes qu’il vaut mieux avoir faites. Puis viennent les étapes, de a à f dans ces trois-là, avec des indications quand un pas est délicat. Et un paragraphe de clôture dit ce que l’on vient de traverser. Une étude enseigne une technique. Une expédition l’emploie, pour aller quelque part.

Expédition 1 : le calcul mental

Première expédition : le calcul mental et les identités. Quatre-vingt-dix-sept, c’est cent moins trois. Cent trois, c’est cent plus trois. Le produit devient une différence de deux carrés : cent au carré, moins trois au carré. Dix mille moins neuf : neuf mille neuf cent quatre-vingt-onze. Même geste pour neuf cent quatre-vingt-dix-huit fois mille deux : mille au carré, moins deux au carré. Neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-seize. Pourquoi cela marche-t-il si bien ? Parce que les deux nombres sont symétriques par rapport à un nombre rond. Les identités remarquables ne sont pas des formules à mémoriser : ce sont des outils de calcul mental.

Expédition 2 : le triangle de Pascal

Deuxième expédition : les secrets du triangle de Pascal. Des un sur les bords, et chaque nombre est la somme des deux qui sont au-dessus. On ne fait pas plus simple. Additionnons chaque ligne : un, deux, quatre, huit. Les puissances de deux. La deuxième diagonale : un, deux, trois, quatre. Les entiers. La troisième : un, trois, six, dix. Ce sont les nombres triangulaires. Et les diagonales montantes, une fois additionnées : un, un, deux, trois, cinq, huit. La suite de Fibonacci, dans un triangle qui ne la mentionne nulle part. Pourquoi la somme de la ligne n vaut-elle deux puissance n ? Parce que un plus un, à la puissance n, se développe par le binôme. Un triangle aussi simple, et une telle richesse. On le retrouvera en probabilités, en analyse, en théorie des nombres.

Expédition 3 : (1,01)ⁿ

Troisième expédition : pourquoi un virgule zéro un à la puissance n grossit si vite. Une augmentation de un pour cent par an semble dérisoire. Mais après cent ans ? À la puissance dix : à peine plus que un virgule dix, le résultat de la croissance linéaire. À la puissance cent : deux virgule sept zéro cinq. Bien plus que les deux de la croissance linéaire. Un an de croissance quotidienne à un pour cent ? Un virgule zéro un à la puissance trois cent soixante-cinq : plus de trente-sept. Le livre prévient que le résultat surprendra. Puis un plus un sur mille, à la puissance mille, et un plus un sur dix mille, à la puissance dix mille : ces nombres semblent se poser près de deux virgule sept un huit. Le livre le dit franchement : ce résultat est admis ici, ces essais ne le démontrent pas. Les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts : c’est la croissance composée.

Les expéditions des volumes suivants

Les expéditions grandissent avec les volumes. En licence : la cycloïde brachistochrone, l’inégalité isopérimétrique, le lemme d’échange de Steinitz. En maîtrise, elles mènent à des résultats et à des questions de recherche : les équations d’Einstein, la conjecture de Riemann, le théorème de la sphère pincée. Le compte rendu y distingue toujours trois choses : les étapes résolues, les résultats admis, les questions ouvertes.

À retenir

À retenir. Une expédition va quelque part : vers un résultat qu’on n’aurait pas cru à sa portée. Elle suppose des études-méthodes, et les met à l’épreuve. Toutes ses solutions sont là, à l’envers, comme celles des autres exercices. Les trois expéditions du chapitre un sont dans l’extrait gratuit. Le lien est dans la description. Prochain épisode : les dix objets compagnons.