Correspondances

Des comptages sans loi

Voici une équation. y au carré plus y égale x au cube moins x au carré. Comptons ses solutions modulo deux, trois, cinq et sept, en ajoutant un point à l’infini : cinq, cinq, cinq, dix. Rien, dans ces nombres, ne ressemble à une loi. Pourtant, ces comptages se retrouvent, un à un, dans une fonction qui ne parle pas d’équations. Ce volume raconte pourquoi. Cours articulé de mathématiques. Volume quatre : du corps de classes au programme de Langlands.

Pour qui, et jusqu’où

Le quatrième volume fait une promesse. Une même équation peut être lue par ses solutions, par ses symétries, ou par les fonctions qui en enregistrent les traces. Le programme de Langlands demande comment passer de l’une à l’autre sans perdre les opérations qui leur donnent un sens. Ce volume suit cette question depuis les corps de nombres jusqu’à la correspondance géométrique, et au parcours de sa preuve de 2024. Il s’adresse à qui veut comprendre comment les domaines se relient, puis retrouver dans les sources les constructions et les preuves complètes. Il suppose les acquis du volume trois : la théorie de Galois, l’analyse fonctionnelle et la géométrie différentielle. Et il nomme le vrai changement. Jusqu’ici, chaque branche avait sa langue : les limites, les groupes, les variétés. Ce volume raconte une découverte : ces langues sont des dialectes d’une même grammaire. Avec le volume cinq, il ouvre le niveau de la recherche.

La carte du volume

Voici la carte. Huit parties. Trente-sept chapitres. Deux cent trente-huit articles, six cent soixante-sept pages. L’arithmétique, d’abord : corps de nombres, nombres p adiques, adèles, réciprocité. Les formes : modulaires, fonctions L, groupes duaux, représentations automorphes. Les courbes : de la géométrie arithmétique à la modularité, aux variétés de Shimura et aux motifs. Le versant géométrique : modules différentiels, fibrés sur les courbes, catégories dérivées, puis le théorème et le parcours de sa preuve. Et un dernier chapitre qui ouvre vers la physique, par les charges, les lignes et les branes.

Quatre idées

Quatre idées tiennent l’ensemble. La première : regarder localement pour comprendre globalement. La réciprocité dit comment les lectures d’un nombre, modulo chaque premier, se répondent, et le volume trois en donnait déjà un premier cas. La deuxième : passer aux symétries. Au volume trois, Galois lisait dans une équation le groupe de ses symétries. Ici, on étudie les représentations de ce groupe, et celles du groupe G L deux. Chaque groupe reçoit alors un groupe dual. La troisième : les fonctions L, qui enregistrent les traces. La fonction zêta de Riemann, croisée au volume trois, en est le premier exemple. Chaque fonction L est un dictionnaire. La quatrième : changer d’objets. Le théorème géométrique identifie alors deux catégories entières. Mais le livre garde la mesure : le théorème géométrique de Rham non ramifié n’est pas la résolution de tout le programme arithmétique. Et un fil court sous les quatre : des objets familiers reviennent avec de nouvelles fonctions. Racine de deux, vue dès le volume un, et le corps qu’elle engendre. La courbe y au carré égale x au cube moins x, et le groupe G L deux, annoncé au volume deux.

Compter, puis reconnaître

Revenons à notre équation. Pour apprendre à compter, prenons d’abord une courbe plus simple, celle que la collection annonce depuis le volume un : y au carré égale x au cube moins x. Modulo cinq, il n’y a que cinq abscisses possibles : zéro, un, deux, trois, quatre. Pour chacune, on cherche les ordonnées qui conviennent. On en trouve un, un, deux, deux, un. Sept points, plus le point à l’infini : huit. On retient l’écart à cinq plus un : cinq plus un moins huit, soit moins deux. Modulo trois, on trouve quatre points : l’écart est nul. Il l’est chaque fois que le premier est de la forme quatre k plus trois : une régularité que le livre démontre, et qui se voit dans les comptages. Revenons à l’équation du début. Ses écarts, pour deux, trois, cinq et sept, valent moins deux, moins un, un, et moins deux. Écrivons maintenant, sans rien compter, un produit de fonctions êta, et développons-le en série. On obtient q, moins deux q carré, moins q cube, plus deux q puissance quatre, plus q puissance cinq, plus deux q puissance six, moins deux q puissance sept. Les coefficients d’indices deux, trois, cinq et sept sont exactement les écarts trouvés. Que cette série soit une forme modulaire, le livre l’admet. Quatre coefficients qui coïncident ne prouvent rien. Ce qui les garantit tous, pour cette courbe, c’est la modularité. Et que chaque courbe sur les rationnels se retrouve ainsi est le théorème de modularité, dont le dernier théorème de Fermat est une conséquence. Rapprocher des noms ne construit pas une correspondance. Il faut que les opérations suivent, avec leurs compatibilités, et leurs preuves.

Travailler le volume

Comment travailler ce volume ? L’article reste l’unité de lecture : une question, une construction, un exemple calculé, et son interprétation. Chaque chapitre se termine par des lectures complémentaires, qui orientent vers les sources, et par des questions de recherche : prolonger un calcul, éprouver une distinction, situer une conjecture. Elles ne sont pas toutes des problèmes ouverts : chacune donne au lecteur une opération à poursuivre. Le chapitre treize, celui des courbes elliptiques, se clôt sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer : le rang de la courbe devrait être l’ordre d’annulation de sa fonction L en un. Au rythme d’un article par jour, le volume se parcourt en huit mois environ.

Ce qui fait la différence

Ce qui fait la différence tient en quelques règles. Un article, une question. Les hypothèses et les normalisations restent dans les énoncés. Un résultat difficile est dit admis quand l’article en explique le rôle. Et le volume existe en français comme en anglais. « La grammaire par laquelle la réalité se compose n’est pas achevée. Ce que l’on en sait, ce que l’on en devine, et ce qu’il reste à découvrir, c’est l’objet de ce volume. »

À retenir

Ce qu’il faut retenir. Volume quatre : du corps de classes au programme de Langlands. Huit parties, deux cent trente-huit articles, un parcours de la preuve de 2024. Et des comptages sur une courbe qui se retrouvent, exactement, dans une fonction. Le volume quatre s’ouvre gratuitement : l’ouverture, la table des matières et le chapitre un en entier. Le lien est dans la description.