Maîtrise

Une équation sans formule

Voici une équation de degré cinq. x puissance cinq, moins quatre x, plus deux, égale zéro. Elle a cinq solutions, et un ordinateur les donne en un instant. Pourtant, aucune formule ne les écrira jamais avec des racines carrées, cubiques ou cinquièmes. Ce n’est pas qu’on ne l’ait pas encore trouvée. C’est qu’elle ne peut pas exister. Cours articulé de mathématiques. Volume trois : de l’analyse fonctionnelle à la théorie de Galois.

Pour qui, et jusqu’où

Le troisième volume fait une promesse : passer des outils aux théories, et changer de point de vue sans perdre la précision. Il s’adresse à qui aborde les mathématiques de niveau master. Il suppose une bonne pratique de l’analyse et de l’algèbre du volume deux. Et il nomme le vrai changement. En licence, le chemin était balisé : définition, théorème, preuve, exercice. En maîtrise, il faut souvent trouver le chemin soi-même. Ce changement ne concerne pas les théorèmes : il concerne le regard. Les volumes quatre et cinq partent tous deux d’ici.

La carte du volume

Voici la carte. Vingt-cinq parties. Quatre-vingt-six chapitres. Quatre cent cinquante-cinq articles, près de deux mille huit cents pages. L’analyse, d’abord : espaces fonctionnels, mesure, Fourier, fonctions holomorphes. Le hasard : probabilités, processus, statistique. Les équations : différentielles, aux dérivées partielles, systèmes dynamiques. L’algèbre et la géométrie : groupes, corps, Galois, variétés, géométrie algébrique. Et le calcul : analyse numérique et simulation.

Quatre idées

Quatre idées tiennent l’ensemble. La première : changer d’espace. La dimension finie ne suffit plus, les fonctions deviennent des points. Mélangez une tasse de café : au moins un point du liquide revient à sa place. C’est un théorème de point fixe, celui de Brouwer. La deuxième : donner un sens à ce qui n’en avait pas. L’intégrale de Lebesgue, et les distributions, qui dérivent des fonctions qui n’ont pas de dérivée. La trajectoire du mouvement brownien est continue partout, et dérivable nulle part : on a beau zoomer, elle ne se redresse jamais. La troisième : voir les symétries cachées. La théorie de Galois lit dans une équation le groupe de ses symétries. La quatrième : les espaces courbes. Les variétés remplacent le plan et l’espace par des espaces courbes qu’on n’observe que localement, carte par carte. Et un fil court sous les quatre. Le même geste du quotient crée les entiers modulo n en arithmétique, la topologie quotient en géométrie, et les espaces L p en analyse. À ce niveau, les grands thèmes de la collection ne sont plus des intuitions : ce sont des outils de démonstration.

Pourquoi aucune formule ?

Revenons à notre équation. Pour les degrés deux, trois et quatre, des formules existent : celles de Cardan et de Ferrari. Pour le degré cinq, Abel montre en mille huit cent vingt-quatre que l’équation générale résiste. Galois dit pourquoi, et pour chaque équation. Traçons la courbe. Elle coupe l’axe trois fois : trois racines réelles. Les deux autres sont complexes, et conjuguées. Le groupe de Galois rassemble les permutations des racines que l’algèbre ne sait pas distinguer. La conjugaison échange les deux racines complexes et fixe les trois autres : une transposition. Le polynôme est irréductible, donc le groupe contient aussi un cycle de longueur cinq. Une transposition et un tel cycle suffisent : on obtient les cent vingt permutations. Le groupe est S cinq, tout entier. Or une formule par radicaux exigerait un groupe résoluble, qu’on puisse démonter en couches abéliennes. S cinq ne l’est pas. La formule est donc impossible, pour cette équation précise. Les racines existent : on sait les calculer à la précision voulue. Elles échappent seulement à toute formule. Comme le dit le livre, la limite n’est pas dans les nombres, mais dans le langage.

Travailler le volume

Comment travailler ce volume ? Avec les trois mêmes sortes d’exercices, tous corrigés. Et avec deux parties écrites pour le lecteur : lire et travailler un cours de master, puis trois chapitres d’exercices de transition. Une gamme, au chapitre cinquante-deux : démontrer qu’on ne peut pas partager un angle de soixante degrés en trois à la règle et au compas. Le cosinus de vingt degrés est de degré trois, et trois n’est pas une puissance de deux. Une étude enseigne le critère qui tranche les problèmes de l’Antiquité : un nombre constructible a pour degré une puissance de deux. Et une expédition refait le chemin de Gauss, qui montra à dix-huit ans que le polygone régulier à dix-sept côtés est constructible. À côté du volume, les trois compagnons. L’abrégé, pour apprendre ou rapprendre. Le précis, pour relire. Le formulaire, pour vérifier. Au rythme d’un article par jour, le volume se parcourt en quinze mois environ.

Ce qui fait la différence

Ce qui fait la différence tient en quelques règles. Un article, une idée. Des échos d’un domaine à l’autre, signalés : on passe de la connaissance des pièces à la vision de l’édifice. Chaque preuve a un statut visible : complète, esquissée ou admise. Et le volume existe en français comme en anglais. « Lire un article, comprendre un séminaire, identifier la bonne question : ces compétences, plus difficiles à enseigner que les théorèmes, sont celles qui font le mathématicien.

À retenir

» À retenir. Volume trois : les mathématiques de la maîtrise. Vingt-cinq parties, quatre cent cinquante-cinq articles, des exercices tous corrigés. Et une équation dont les racines existent, mais échappent à toute formule. Le volume trois s’ouvre gratuitement : l’ouverture, la table des matières et le chapitre un en entier. Le lien est dans la description.