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Des entiers, et un nombre d’or

Zéro, un, un, deux, trois, cinq, huit, treize. Chaque nombre est la somme des deux précédents. Des nombres entiers, tous. Pourtant, pour écrire directement le centième, il faut passer par un nombre qui n’est pas entier, ni même une fraction : le nombre d’or. Cours articulé de mathématiques. Volume deux : de l’énoncé à l’espace.

Pour qui, et jusqu’où

Le deuxième volume pose trois questions. Qu’est-ce qu’un énoncé ? Que signifie converger ? Comment un calcul devient-il une structure ? Il s’adresse à qui étudie les mathématiques du premier cycle universitaire. Il suppose le volume un, surtout le calcul littéral et les premiers raisonnements. Et il annonce un changement, dès sa première page. Au lycée, un théorème était un outil : on l’appliquait, puis on passait à l’exercice suivant. Ici, un théorème devient un objet : on le démontre, on en cherche les limites. Le volume mène ainsi jusqu’aux portes de la maîtrise, celles du volume trois.

La carte du volume

Voici la carte. Seize parties. Soixante-deux chapitres. Deux cent quatre-vingt-onze articles, plus de mille six cents pages. Une première partie pour apprendre à lire. Puis l’analyse, le fil principal, en huit parties : suites, limites, dérivées, intégrales, séries, équations différentielles. L’algèbre, en cinq : vecteurs, matrices, nombres, polynômes, groupes. La géométrie euclidienne. Et, pour finir, la combinatoire et les probabilités.

Quatre idées

Quatre idées tiennent l’ensemble. La première : lire un énoncé avant de le prouver. Pour tout x, il existe un y plus grand que x : c’est vrai. Il existe un y plus grand que tout x : c’est faux. Les mêmes mots, dans un autre ordre. La deuxième : la limite. Une suite qui converge, une fonction continue, une dérivée, une série : c’est chaque fois la même idée, écrite avec les mêmes quantificateurs. La troisième : la structure. Le groupe isole en trois axiomes ce qu’ont en commun l’addition des entiers, la composition des permutations et le produit des matrices. L’espace vectoriel réunit les vecteurs du plan, les polynômes et les fonctions continues sous un même toit. La quatrième : approcher ce qu’on ne sait pas calculer exactement. Des polynômes de plus en plus longs épousent le cosinus de plus en plus près, et chaque coefficient se lit sur une dérivée. Et un fil court sous les quatre : les mêmes principes reviennent sous d’autres formes. La symétrie, l’approximation, la linéarisation, le passage du local au global. La division des entiers éclaire celle des polynômes.

Fibonacci par les valeurs propres

Revenons à la suite de Fibonacci. Rangeons deux termes consécutifs dans un vecteur. Passer au terme suivant, c’est multiplier par une matrice : un et un sur la première ligne, un et zéro sur la seconde. Le centième terme demande donc cette matrice à la puissance cent. Cent produits de matrices : c’est long. Mais si la matrice était diagonale, ce serait immédiat : il suffirait d’élever chaque coefficient à la puissance cent. Diagonaliser, c’est changer de base pour se ramener à ce cas. Cherchons les valeurs propres. Elles annulent lambda au carré moins lambda moins un. La première vaut un plus racine de cinq, sur deux : un virgule six cent dix-huit, le nombre d’or. L’autre vaut moins zéro virgule six cent dix-huit. Il en sort une formule close : le nombre d’or à la puissance n, moins l’autre valeur à la puissance n, le tout divisé par racine de cinq. Des irrationnels à l’entrée, et, à la sortie, des entiers, à chaque fois. Mieux : le second terme devient vite minuscule. Le nombre d’or à la puissance douze, divisé par racine de cinq, donne cent quarante-quatre virgule zéro zéro un. Le douzième terme vaut cent quarante-quatre. Les valeurs propres ont fait le calcul à notre place.

Travailler le volume

Comment travailler ce volume ? Avec les trois mêmes sortes d’exercices que le volume un, tous corrigés, les solutions à l’envers. Une gamme, au chapitre quatre : écrire la convergence d’une suite avec ses quantificateurs. Pour tout epsilon, il existe un rang N. C’est la phrase qui porte toute l’analyse. Une étude, au chapitre quarante-deux, applique la même méthode à une autre récurrence. Mettre en matrice, trouver le spectre, écrire la formule. Les valeurs propres sont deux et trois, et le terme général s’écrit avec deux puissance n et trois puissance n. Et une expédition mène aux matrices stochastiques : le théorème de Perron-Frobenius. Prenons un système à deux états : chaque jour, il reste où il est ou il change, avec des probabilités fixes. À la longue, la répartition se stabilise : quatre septièmes, trois septièmes. C’est la même idée qui classe les pages du Web. À côté du volume, les trois compagnons. L’abrégé, pour apprendre ou rapprendre. Le précis, pour relire. Le formulaire, pour vérifier. Au rythme d’un article par jour, le volume se parcourt en dix mois environ.

Ce qui fait la différence

Ce qui fait la différence tient en quelques règles. Un article, une idée : il s’ouvre sur une tension, jamais sur une définition sèche. Chaque terme garde exactement le même sens partout où il apparaît. Chaque preuve a un statut visible : complète, esquissée ou admise. Et le volume existe en français comme en anglais. « C’est en comprenant pourquoi un résultat est vrai que l’on cesse d’avoir besoin de le mémoriser. »

À retenir

À retenir. Volume deux : les fondements des mathématiques universitaires. Seize parties, deux cent quatre-vingt-onze articles, des exercices tous corrigés. Et des valeurs propres qui calculent à notre place. Le volume deux s’ouvre gratuitement : l’ouverture, la table des matières et le chapitre un en entier. Le lien est dans la description.